0%

简单介绍笛卡尔积

简介

这个博客参考左孝陵先生的《离散数学》,会尽量简单的讲讲笛卡尔积,能够给大家一个更加具体的认识。

什么是序偶

要知道什么是序偶,先得弄明白序偶的作用,我觉得序偶就是带顺序的集合,用来表示一些集合表示不了的东西。比如在小学学的直角坐标系上,有两个点,(2,3)和(3,2),点的坐标就是序偶,因为它自带顺序,为什么每次一个点都先读x坐标再读y坐标?是因为规定了顺序,才能表示更多的点。坐标系如果用集合来表示坐标,那{2,3},{3,2}就是同一个点了。

再举一个例子吧,老师对同学们说报出你们的身高体重,你有一米八,体重190斤。你如果说“190,180”老师会认为你是一米九,体重180斤,因为老师问的时候带了一个顺序,问的是序偶,身高到体重,如果你按体重到身高报,就完全错了

什么是笛卡尔积

令A和B是任意两个集合,若序偶的第一个成员是A的元素,第二个成员是B的元素,所有这样的序偶集合,称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积,记做A X B

如果觉得定义太抽象,也没有关系,让我们继续之前老师记身高体重的例子,再没有你这种反着来报体重身高的人后,老师很快就得到了全班同学的身高体重表格,

身高 体重
170 140
180 190
190 180
…… ……

看看这个表来源于什么,来源于全班同学的身高的集合A,体重的集合B。那么,全班同学的体重身高就可以表示为A X B,全班同学的体重身高就可以表示为B X A

更加严谨的表达方式

假设身高集合为A={a1,a2,a3,a4……an},体重集合为B = {b1,b2,b3,b4,b5……},那么A X B = {<a1,b1>, <a1,b2> ,<a1, b3>,……<a1,bn>,<a2,b1>,<a2,b2>……<an,bn> }

具体特征是a永远在前面,b永远在后面,因为是A X B,一共有n X n 个元素,因为A,B数组的元素个数为n,n

笛卡尔积与函数的联动

有这样一个函数,定义域为x,值域为1,那么这个函数可以表示为 R X 1的子集,能不能画出这个题的图像呢?

y = 1函数图像

其实我根据定义域和值域就用y = 1来画这个题的图像是不严谨的,应该说,这题是运气好才能画出图像,但是不可能确定表达式,因为决定函数的是定义域和对应关系。比如这题的函数可以是

但我想表达的是,函数的图像,不可能超过它定义域和值域的笛卡尔积,而是被包含在笛卡尔积的图像之中,我能准确的画出这个题的图像,是因为R X 1这个笛卡尔积,结果是一条直线,导致函数图像的可能性降低,所以能画出图像。

如果我告诉你定义域为[-3,3],值域为[-3,3],是肯定画不出图像,确定不了函数的,但是我可以肯定的是,函数的图像一定在[-3,3] X [-3,3]的正方形图像当中

-------------本文结束感谢您的阅读-------------